Don't talk, if you can read; don't read if you can write; don't write if you can think. HANNA ARENDT, Diario filosófico

domingo, 3 de febrero de 2013

Un triángulo de números impares

Hace unos días mi compañero Luis Barrios nos mostró en la reunión del Departamento una propiedad matemática que nos resultó muy interesante. Es ésta:
Dispongamos los números impares de la siguiente manera:


Podemos comprobar que sumando los números de cada fila obtenemos la sucesión de los cubos de los números naturales:  



Pensé entonces en encontrar una igualdad que exprese este hecho de forma general. Y esto es lo que hice: 

Lo primero que observamos es que en la fila n–ésima hay n números impares. Y cada fila empieza por uno de los números que se muestran en negrita en la siguiente sucesión:

1   3   5   7   9   11   13   15   17   19   21 … 

Las posiciones de estos números en la sucesión de los impares se muestran a continuación en negrita:

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11 … 

El término general de esta sucesión (1, 2, 4, 7, 11, ... ) es:


Así pues, la suma de los números de cada fila la podemos expresar como la suma de expresiones del tipo 2i-1 para valores naturales sucesivos de i, a partir del valor 

Puesto que son n sumandos, el último valor que toma i debe ser igual al valor anterior más n -1, es decir,  .


En definitiva, la expresión que queríamos obtener es:


Mi compañero Luis me sugiere también que, para completar esta entrada, exponga lo que sigue:

Recordemos, en primer lugar, la igualdad, más conocida, de que la suma de los n primeros números impares coincide con el cuadrado de n:
:
Esta propiedad puede visualizarse del siguiente modo:

Aquí vemos que:


Se pueden disponer también como un cuadrado, añadiendo cada vez una fila y una columna -es frecuente ver esta disposición.

Y como consecuencia de esta fórmula, si n es un cuadrado perfecto, se tiene esta otra relación:  

Ya puestos se podría investigar si existe alguna relación similar con n5.

 

1 comentario:

  1. Interesante! Yo también a veces busco relaciones entre números e intento volver a hallar cosas que en principio son básicas pero que ocultan información. Una web interesante y curiosa! :D Un saludo

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