DIMENSIONS

DIMENSIONS es un precioso trabajo de acercamiento visual a las matemáticas. Se trata de una película dividida en 9 capítulos que gradualmente nos conduce hasta la cuarta dimensión y culmina con la demostración de un teorema sobre la proyección estereográfica.

 

Un triángulo de números impares

Hace unos días mi compañero Luis Barrios nos mostró en la reunión del Departamento una propiedad matemática que nos resultó muy interesante. Es ésta:

Dispongamos los números impares de la siguiente manera:

Podemos comprobar que sumando los números de cada fila obtenemos la sucesión de los cubos de los números naturales:  

Pensé entonces en encontrar una igualdad que exprese este hecho de forma general. Y esto es lo que hice: 

Lo primero que observamos es que en la fila n–ésima hay n números impares. Y cada fila empieza por uno de los números que se muestran en negrita en la siguiente sucesión:

1   3   5   7   9   11   13   15   17   19   21 … 

Las posiciones de estos números en la sucesión de los impares se muestran a continuación en negrita:

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11 … 

El término general de esta sucesión (1, 2, 4, 7, 11, ... ) es:

Así pues, la suma de los números de cada fila la podemos expresar como la suma de expresiones del tipo 2i-1 para valores naturales sucesivos de i, a partir del valor 

Puesto que son n sumandos, el último valor que toma i debe ser igual al valor anterior más n -1, es decir,  .

En definitiva, la expresión que queríamos obtener es:

Mi compañero Luis me sugiere también que, para completar esta entrada, exponga lo que sigue:

Recordemos, en primer lugar, la igualdad, más conocida, de que la suma de los n primeros números impares coincide con el cuadrado de n:

:

Esta propiedad puede visualizarse del siguiente modo:

Aquí vemos que:

Se pueden disponer también como un cuadrado, añadiendo cada vez una fila y una columna -es frecuente ver esta disposición.

Y como consecuencia de esta fórmula, si n es un cuadrado perfecto, se tiene esta otra relación:  

Ya puestos se podría investigar si existe alguna relación similar con n⁵.

 

Divestadística

Hoy quiero recomendar a los que seguís este blog, el portal de divulgación estadística

En él podéis encontrar, entre otras cosas, artículos, vídeos y experimentos muy interesantes sobre la Estadística.
¡Echadle un vistazo!

Inspirations

Así se titula la nueva animación del ilustrador gráfico Cristóbal Vila inspirada en las obras de Escher.

En este corto, el autor hace una recreación libre de cómo podría ser el lugar de trabajo del conocido artista gráfico holandés.

El vídeo es un hermoso recorrido por una serie de objetos que hacen referencia a las matemáticas.

 Aquí podéis ver unas notas explicativas sobre cada uno de los objetos de naturaleza matemática que aparecen en el vídeo.

La geometría de la pasta

Aquí traigo un divertido y sabroso ejemplo de cómo las matemáticas describen la realidad. Y es que las formas que tienen los distintos tipos de pasta que comemos pueden obtenerse al representar gráficamente ciertas ecuaciones.

En este blog podéis ver unos cuantos ejemplos elaborados con el programa Mathematica por Sander Huisman, un estudiante de posgrado de física en una universidad holandesa.

En este breve vídeo podemos ver el proceso geométrico de generación de los gemelli:

Por otro lado, el arquitecto George L. Legendre, ha publicado un libro titulado Pasta by design, en el que cataloga 92 tipos de pasta. Para cada uno de ellos, el libro proporciona la ecuación matemática, la imagen de la pasta y algunas sugerencias para cocinarla.

En The New York Times podéis encontrar un artículo (en inglés) más completo sobre este tema, que apareció en español en el diario El País el día 2 de febrero.

Además han creado un recurso interactivo con una selección de ocho de las variedades pasta que aparecen en el libro.

Las matemáticas y la belleza

    Con permiso de mi buen amigo y colaborador matemático en este blog, el profesor Antonio Álvarez, me introduzco en el arduo y hermoso mundo de las matemáticas para enlazaros a un documental emitido por TVE sobre su relación con la belleza. Aprovecho, por otro lado, para recordar algunas ideas clave que hemos comentado durante el trimestre relacionadas con este asunto.

     Como ya sabéis por los contenidos de las clases (en primer curso sobre todo con relación al origen de la ciencia moderna, en segundo con relación a la filosofía antigua) tanto la filosofía como la ciencia tienen una estrechísima cercanía con las matemáticas. No sólo la escuela pitagórica y Platón nos hablan de esta relación, unas veces para explicar cómo está formado el mundo en el caso de los pitagóricos y otras como camino hacia el mundo de las Ideas platónico, que requiere de la matemática como método indispensable para el ascenso dialéctico. Las matemáticas, según el ateniense, no son la belleza, pero son el camino inexorable hacia ella.

      En los orígenes de la ciencia moderna vimos ya las dos claves sobre las que construye Galileo su método: la importancia del experimento y la idea pitagórica de que “el mundo está escrito en caracteres matemáticos”. En una línea similar, dos grandes filósofos y matemáticos de la edad moderna, Descartes y Leibniz, sitúan la matemática y su método como centro del conocimiento seguro y, a la vez, como guía absoluta de la filosofía. Incluso el gran filósofo ilustrado, Kant, sin llegar a la importancia matemática de los dos racionalistas, es también un competente matemático, y encuentra muchos motivos de reflexión en ellas para elaborar su teoría del conocimiento.

       Este documental que enlazamos aquí nos habla, sin embargo, de otra relación fundamental. Las matemáticas no se reducen sólo a auxiliares del conocimiento o del pensamiento especulativo, sino que forman parte esencial del sentimiento estético:

       La propia belleza se puede formular con un número: el número Phi, que se encuentra tanto en el arte como en la naturaleza. Muchas de las cosas bellas que nos rodean contienen este número, el 1,61803…. Leonardo da Vinci lo usó, por ejemplo, para dibujar la cara de su modelo más famosa, La Gioconda. También otros como Durero o Piero della Francesca lo tuvieron presente. De hecho en el Renacimiento, hubo grandes encuentros entre arte y matemáticas. El arquitecto Brunelleschi inventó la perspectiva en esta época y, por fin, fue posible dotar de realismo espacial las escenas que se pintaban. Pero la relación entre ambas doctrinas no acabó aquí. Velázquez fue un gran amante de las matemáticas y un cuadro tan complicado como Las Meninas no hubiera existido sin ellas. Las vanguardias artísticas europeas también se interesaron por la ciencia de los números. Artistas como Dalí, Mondrian o Picasso tuvieron en cuenta las matemáticas.

De todo ello hablamos con cinco matemáticos: Antonio J. Duran, de la Universidad de Granada, Sebastián Xambó, de la UPC, Fernando Corbalán, recientemente distinguido con el premio José María Savirón de divulgación científica, Francisco Martín Casalderrey, profesor en el IES Juan Cierva y Capi Corrales de la UPM.

      Por supuesto, la música no se queda al margen de esa relación, como ya descubrieron tempranamente los pitagóricos. Lo que percibe nuestro oído cuando escuchamos música es, ante todo, relación matemática. La belleza artística, tanto visual como auditiva, es posible por las proporciones matemáticas. Este documental explora todas estas cuestiones.

http://www.rtve.es/television/20111207/tres14-numeros-son-bellos/480677.shtml

IMAGINARY. Geometría y Arte

IMAGINARY es una exposición itinerante que nos permite disfrutar de bellas imágenes geométricas interactivas creadas por ordenador con ayuda de programas matemáticos. Fue concebida por el Instituto de Investigación de Matemáticas de Oberwolfach para el año de las Matemáticas 2008 en Alemania.

Con motivo del centenario de la fundación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), que se celebra durante el año 2011, vamos a poder visitarla en distintas ciudades de España durante este año y el siguiente. En Granada podremos verla entre el 31/05/2012  y el 30/06/2012.

Mientras llega, podéis daros un paseo por la exposición aquí.

Mujeres matemáticas

Espoleado por la estupenda entrada de Isidoro sobre María Moliner, traigo aquí un vídeo sobre mujeres matemáticas:

http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-mujeres-matematicas/882229/ 

 María Agnesi

En él  se reivindica el papel de algunas mujeres que llegaron a destacar en el ámbito de las matemáticas, un terreno generalmente vedado a ellas por las circunstancias sociales. 

Pertenece a la colección de documentales Universo matemático, que os invito a ver.

Sistemas de ecuaciones lineales

Esta construcción permite resolver e interpretar geométricamente sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.
Mueve los deslizadores para resolver el sistema que desees.




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M.C.Escher. Universos infinitos

Maurits Cornelius Escher fue un artista gráfico singular, uno de los más importantes del siglo XX. Su singularidad reside en que, en su búsqueda de representar mundos imaginarios, se adentró en el mundo de las matemáticas.
Su extensa obra se encuentra así a caballo entre lo lúdico y lo científico y es apreciada tanto por artistas como por matemáticos.
Escher visitó la Alhambra en dos ocasiones. La contemplación de sus azulejos y yeserías dejaría sobre su obra posterior una profunda huella.

Ahora podemos visitar en Granada la exposición M.C.Escher. Universos infinitos, que conmemora el 75 aniversario de su segunda visita.
La exposición tiene lugar simultáneamente en dos sedes: la Capilla de Carlos V, en el recinto de la Alhmabra, y el Parque de las Ciencias.
En esta página tenéis toda la información.

Problemas de matemáticas en elpais.com

El diario El País ha iniciado un concurso de resolución de problemas de
Matemáticas relacionado con el Centenario de la Real Sociedad Matemática Española.

El concurso durará 30 semanas y podéis ver en qué consiste y el primer
problema en

http://www.elpais.com/videos/sociedad/problema/ciudades/carreteras/elpepusoc/20110318elpepusoc_1/Ves/

Todos los viernes habrá un nuevo vídeo, con un nuevo problema. ¿Os animáis a intentar resolverlos?

El diagrama de tallos y hojas y el cajas y bigotes

Traigo aquí la presentación realizada por la alumna Mª Encarnación Martínez Soler, de 1º Bto. C, sobre dos diagramas de datos estadísticos: el de tallos y hojas y el de cajas y bigotes.

El tablero de ajedrez y los granos de trigo

Hace unos días hemos estado trabajando en clase con las progresiones aritméticas y geométricas. Y hemos visto que, si una progresión geométrica es de razón 2, sus términos crecen a un ritmo vertiginoso (no digamos si la razón es, por ejemplo, 10).

Para ilustrar este hecho podemos recurrir a una conocida leyenda sobre el inventor del ajedrez.

Cuenta esta leyenda que el joven brahmán Lahur Sessa escuchó que el Rey Iadava estaba sumido en una profunda tristeza por la muerte de su hijo y fue a ofrecerle un juego que había inventado, el ajedrez, como entretenimiento para olvidar sus penas.

Gracias a aquel maravilloso juego, el rey, al poco tiempo, recobró la alegría. Tan satisfecho quedó con el regalo de Sessa que quiso agradecérselo al joven otorgándole lo que éste pidiera.

Lo único que pidió Sessa fue trigo. Le pidió al rey que le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así sucesivamente multiplicando por dos, hasta llegar a la última casilla, la número 64.

Iadava accedió a esta petición y mandó hacer los cálculos de lo que se tenía que entregar a Sessa. Pero pronto se dieron cuenta de que ¡la petición era imposible de cumplir!

Vamos a ver cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor.

Nº de casilla	Nº de granos (expresado como potencia)	Nº de granos (obtenido con calculadora) (aproximado)
1	20	1
2	21	2
3	22	4
4	23	8
5	24	16
…	…	….
64	263	9,223372037 x 1018

Como vemos, el número de granos que va en cada casilla constituye una progresión geométrica de razón 2.

Ahora, usando la fórmula correspondiente, sumamos los granos de todas las casillas:

Así que el rey tendría que dar a Sessa aproximadamente 18.446.744.070.000.000.000 granos de trigo (el valor exacto es mayor).

¿Cuántas toneladas pesan todos esos granos de trigo?

Al parecer, 25 granos de trigo pesan aproximadamente 1 gramo. O dicho a la inversa, 1 grano de trigo pesa aproximadamente 0,04 gramos.

Por tanto, los 1,844674407 x 10¹⁹ granos de trigo pesan:

1,844674407 x 10¹⁹ x 0,04 = 7,378697629 x 10¹⁷ gramos

Es decir, 7,378697629 x 10¹¹ toneladas.

Según un informe del Departamento de Agricultura de Estados Unidos, la producción mundial de trigo se estima actualmente en 603 millones de toneladas, es decir, 603 x 10⁶ toneladas, o 6,03 x 10⁸ toneladas.

Con lo cual, 7,378697629 x 10¹¹ / 6,03 x 10⁸ = 1223,664615.

Es decir, ¡la cantidad que Sessa pidió al rey se tardaría en producir más de 1000 años al ritmo actual!

Más sobre el infinito: Los Aleph de Cantor

Hace unos días tratábamos del infinito y las paradojas que provoca.

Decíamos que un rectángulo puede “verse” como un conjunto infinito de segmentos, el área de cada uno de los cuales es cero. Pero, claro, el área del rectángulo no es cero.

Y decíamos que esto es posible por la infinitud del número de segmentos.

Sin embargo, también son infinitos los segmentos levantados sobre las abscisas correspondientes a números enteros (ver figura) y el conjunto formado por todos ellos tiene área cero.

¿Y entonces?

La explicación es que ¡hay distintos infinitos!

Veamos esto con algo más de detalle:

Dos conjuntos decimos que tienen el mismo cardinal (es decir, el mismo número de elementos) si se puede establecer entre ellos una aplicación biyectiva (cada oveja con su pareja).

Es claro que el conjunto ℕ de los números naturales (1, 2, 3, …) tiene infinitos elementos. Pero es que tiene el mismo cardinal que ℤ, el conjunto de los números enteros (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …), ya que se puede establecer una aplicación biyectiva entre ambos. Por ejemplo ésta:

¡Y esta es otra paradoja: estamos diciendo que un conjunto, ℤ, tiene el mismo número de elementos que una parte suya, ℕ!

Más aún. Como probó el matemático Georg Cantor a finales del siglo XIX, también ℚ, conjunto de los números racionales, tiene el mismo cardinal infinito que sus subconjuntos ℤ y ℕ.

Georg Cantor

También probó que ℝ, el conjunto de los números reales, no puede hacerse corresponder mediante una aplicación biyectiva con ℕ, es decir, que ℝ tiene un cardinal infinito mayor que ℕ, ℤ o ℚ.

Cantor llamó numerables a los conjuntos que tienen el mismo cardinal que ℕ y a este cardinal lo llamó aleph sub-cero. Y demostró que existe toda una “escalera” de cardinales infinitos distintos (los llamados números transfinitos): aleph sub-cero, aleph sub-uno, aleph sub-dos, …

Por otro lado, también probó que el cardinal de los números reales, denotado c, es mayor o igual que aleph sub-uno.

Quedaba la cuestión de si c es igual a aleph sub-uno o es mayor. Cantor creía que se cumple la igualdad, o dicho con otras palabras, que no existe ningún conjunto con un cardinal mayor que ℕ y menor que ℝ. Es la llamada hipótesis del continuo. Durante años intentó demostrarlo, pero no pudo.

Kurt Gödel en 1940 y Paul Cohen en 1963, obtuvieron resultados que, considerados conjuntamente, implican que tal hipótesis es indecidible a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, es decir, que ni se puede probar la hipótesis del continuo ni su contraria.

El duendecillo que desaparece

Traigo aquí una divertida paradoja geométrica: "The Vanishing Leprechaun".
Este conocido puzzle fue diseñado por el canadiense Pat Patterson en los años 60 del pasado siglo.
La imagen, en la que se muestran quince duendecillos, está dividida en tres rectángulos.

Pues bien, si intercambiamos los dos rectángulos superiores, ¡uno de los duendes desaparece!


¿Cuál se esfuma? ¿Adónde ha ido? Cuando regresa, ¿de dónde ha venido?

Si te apetece, imprímelo y recórtalo para intentar encontrar una explicación.

Esta paradoja es una de las muchas que se comentan en el estupendo libro "¡Ajá!. Paradojas que hacen pensar", de Martin Gardner, que fue publicado por la editorial Labor en 1982 y ahora puede encontrarse en RBA.

A vueltas con el infinito

Si hay alguna idea en la matemática tan resbaladiza e inaprehensible como en filosofía lo es la de Dios, esa es la de infinito. Del interesante debate que se ha suscitado en este blog acerca de los argumentos para probar la existencia o inexistencia de Dios (debate en el que no me atrevo a entrar) podríamos obtener una conclusión como ésta:

Por más que construyamos sólidos razonamientos en uno u otro sentido, siempre estamos igual de lejos de llegar a una conclusión incontrovertible (¡lo cual no significa que, al hacerlo, no hayamos avanzado en el conocimiento de la cuestión!).

Salvando las distancias, cuando en el ámbito de las matemáticas trabajamos con la idea de infinito, nos encontramos paradojas que recuerdan esa situación. Y se podría pensar que esto ocurre cuando se abordan problemas matemáticos muy profundos o técnicos, pero no es necesariamente así. Con seguridad, todos hemos tenido, de niños, una conversación parecida a ésta:

- ¡Yo tengo cinco!

- ¡Y yo más! ¡Yo tengo seis!

- ¡Y yo tengo catorce!

- ¡Y yo, noventa y nueve!

- ¡Pues yo tengo infinitos!

- ¡Y yo más …!

Ya desde pequeños, la idea de infinito nos resulta a la vez necesaria e inalcanzable.

Escribo todo esto porque en clase nos hemos topado ya varias veces con este asunto. La primera fue al trabajar con probabilidades referidas a variables aleatorias continuas. Veamos un ejemplo:

Supongamos que un amigo nos dice que vendrá a casa entre las 5 y las 7 de la tarde (y nosotros tenemos plena seguridad de que cumplirá su palabra).

¿Cuál es la probabilidad de que venga exactamente a las 6:30?

La respuesta es cero. Eso es lo que nos dice la teoría de la probabilidad.

Pero, si eso es así, la probabilidad de que venga, por ejemplo, a las 6:29 también es cero. Y si la probabilidad de que venga a cualquier hora concreta es cero, entonces ¡es imposible que venga!

Pues no; la conclusión es falsa. Nuestro amigo vendrá, con seguridad, entre las 5 y las 7.

¿Cómo es posible esto? ¡Porque hay infinitas horas entre las 5 y las 7!

Otra manera de acercarse a esta paradoja es visualizarla geométricamente:

Podemos convenir en que un rectángulo está compuesto de infinitos segmentos. El área de cada uno de estos segmentos es cero y, sin embargo, el área del rectángulo no lo es.

Otra situación paradójica nos la hemos encontrado en clase al estudiar la función de densidad de la distribución normal. El recinto comprendido entre la gráfica de esta función y el eje de abscisas no está acotado (las “colas” izquierda y derecha no acaban nunca) y, sin embargo, tiene área finita (vale 1).

Ahora estamos trabajando con los números reales y ya nos han surgido nuevos interrogantes sobre el infinito. Pero éstos los comentaremos otro día. Ese día hablaremos también de esa última afirmación, aparentemente absurda, del niño, cuando dice: “- ¡Y yo más …!”. ¿Más que infinito?

Gapminder

La Fundación Gapminder, creada por Hans Rosling, desarrolló Trendalyzer, un programa para convertir series estadísticas en gráficos interactivos con el objetivo de promover una visión del mundo basada en hechos y datos a través de la comprensión de información estadística pública.

Podéis ver y descargar las animaciones interactivas en la página de la fundación.

El 16 de marzo de 2007, Google adquirió Trendalyzer para avanzar en su desarrollo. Desde entonces, Google ha hecho público su Motion Chart Google Gadget.

Aportación de Descartes a las matemáticas

René Descartes (1596-1650) fue un gran pensador francés. Se le considera como el primer gran filósofo moderno, trabajó en física y biología, y dedicó a las matemáticas parte de su tiempo a lo largo de muchos años.
Intentaremos aquí explicar brevemente en qué consistió su aportación a las matemáticas, que, como veremos, contribuyó a transformar profundamente.

Educado en el prestigioso colegio de jesuitas de La Flèche en Anjou y posteriormente licenciado en Derecho por la Universidad de Poitiers, pronto empezó Descartes a dudar de todo el conocimiento que había adquirido. Esto le llevó a buscar un método con el que poder llegar a verdades incontrovertibles en todos los campos del saber.
Las matemáticas le atraían porque proporcionan un método de llegar a certezas y demostrarlas de forma impecable, método que, pensaba, trascendía su propia materia. De modo que elaboró una serie de principios para asegurar el conocimiento verdadero en cualquier campo, basándose en la forma de trabajar de los matemáticos.

En 1637 publicó su principal obra, Discurso del método para dirigir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias. Este libro, que es todo un clásico en filosofía, contiene tres apéndices, La Dioptrique, Les Météores y La Géométrie, en los que pretende ejemplificar la efectividad de su método.

En el tercero, La Géométrie, expuso sus ideas sobre geometría de coordenadas y álgebra, ideas que tendrían una enorme repercusión en el futuro de las matemáticas.

De forma muy resumida, podemos decir que, junto con Fermat, otro gran matemático coetáneo con el que rivalizó, y con precedentes como el de Vieta, creó una nueva rama de las matemáticas, la geometría de coordenadas, conocida también como geometría analítica, y que consiste en utilizar el álgebra en la geometría.

Introduciendo un sistema de coordenadas, cada punto del plano queda representado por un par de números: sus coordenadas. (Si el punto está en el espacio, sus coordenadas serán tres.)
De este modo se consigue asociar ecuaciones algebraicas a lugares geométricos.
Por ejemplo, fijado un sistema de coordenadas, el par de números (2, -3) identifica un cierto punto en el plano; una ecuación como x + 2y = 5 representa una determinada recta (la recta que forman todos los puntos del plano que cumplen la condición de que su primera coordenada, x, más el doble de su segunda coordenada, y, es igual a 5); otras ecuaciones representan circunferencias, elipses, esferas, etc.

Y esta es la clave de la geometría de coordenadas: que permite usar las ecuaciones algebraicas para representar y estudiar curvas y superficies.

Así, muchos de los problemas geométricos que desde los griegos eran resueltos por procedimientos con frecuencia muy complicados y particulares, y ligados al empleo de figuras, ahora podían ser abordados mediante el empleo de las poderosas y generales herramientas algebraicas.

Estas ideas supusieron un cambio trascendental en las matemáticas hasta el punto de acabar con la supremacía de la geometría a favor del álgebra (aunque paradójicamente la obra en la que se desarrollan se llame “Geometría”).

Nature by numbers

Hola:

A propuesta de Isidoro, inicio con esta entrada mi colaboración en ÁPEIRON. Escribiré fundamentalmente sobre matemáticas y educación. Intentaré tratar estos asuntos de forma atractiva y aportar recursos complementarios a los que se usan en el aula.
Espero que, más adelante, participen también algunos de mis alumnos.

Aquí tenéis un excelente corto que describe algunas relaciones entre matemáticas y naturaleza.



No olvidéis tener activos los altavoces: la música de Wim Mertens resulta muy apropiada.

Podéis consultar aquí la teoría en que se basa .