Un triángulo de números impares

Hace unos días mi compañero Luis Barrios nos mostró en la reunión del Departamento una propiedad matemática que nos resultó muy interesante. Es ésta:

Dispongamos los números impares de la siguiente manera:

Podemos comprobar que sumando los números de cada fila obtenemos la sucesión de los cubos de los números naturales:  

Pensé entonces en encontrar una igualdad que exprese este hecho de forma general. Y esto es lo que hice: 

Lo primero que observamos es que en la fila n–ésima hay n números impares. Y cada fila empieza por uno de los números que se muestran en negrita en la siguiente sucesión:

1   3   5   7   9   11   13   15   17   19   21 … 

Las posiciones de estos números en la sucesión de los impares se muestran a continuación en negrita:

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11 … 

El término general de esta sucesión (1, 2, 4, 7, 11, ... ) es:

Así pues, la suma de los números de cada fila la podemos expresar como la suma de expresiones del tipo 2i-1 para valores naturales sucesivos de i, a partir del valor 

Puesto que son n sumandos, el último valor que toma i debe ser igual al valor anterior más n -1, es decir,  .

En definitiva, la expresión que queríamos obtener es:

Mi compañero Luis me sugiere también que, para completar esta entrada, exponga lo que sigue:

Recordemos, en primer lugar, la igualdad, más conocida, de que la suma de los n primeros números impares coincide con el cuadrado de n:

:

Esta propiedad puede visualizarse del siguiente modo:

Aquí vemos que:

Se pueden disponer también como un cuadrado, añadiendo cada vez una fila y una columna -es frecuente ver esta disposición.

Y como consecuencia de esta fórmula, si n es un cuadrado perfecto, se tiene esta otra relación:  

Ya puestos se podría investigar si existe alguna relación similar con n⁵.