El tablero de ajedrez y los granos de trigo

Hace unos días hemos estado trabajando en clase con las progresiones aritméticas y geométricas. Y hemos visto que, si una progresión geométrica es de razón 2, sus términos crecen a un ritmo vertiginoso (no digamos si la razón es, por ejemplo, 10).

Para ilustrar este hecho podemos recurrir a una conocida leyenda sobre el inventor del ajedrez.

Cuenta esta leyenda que el joven brahmán Lahur Sessa escuchó que el Rey Iadava estaba sumido en una profunda tristeza por la muerte de su hijo y fue a ofrecerle un juego que había inventado, el ajedrez, como entretenimiento para olvidar sus penas.

Gracias a aquel maravilloso juego, el rey, al poco tiempo, recobró la alegría. Tan satisfecho quedó con el regalo de Sessa que quiso agradecérselo al joven otorgándole lo que éste pidiera.

Lo único que pidió Sessa fue trigo. Le pidió al rey que le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así sucesivamente multiplicando por dos, hasta llegar a la última casilla, la número 64.

Iadava accedió a esta petición y mandó hacer los cálculos de lo que se tenía que entregar a Sessa. Pero pronto se dieron cuenta de que ¡la petición era imposible de cumplir!

Vamos a ver cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor.

Nº de casilla	Nº de granos (expresado como potencia)	Nº de granos (obtenido con calculadora) (aproximado)
1	20	1
2	21	2
3	22	4
4	23	8
5	24	16
…	…	….
64	263	9,223372037 x 1018

Como vemos, el número de granos que va en cada casilla constituye una progresión geométrica de razón 2.

Ahora, usando la fórmula correspondiente, sumamos los granos de todas las casillas:

Así que el rey tendría que dar a Sessa aproximadamente 18.446.744.070.000.000.000 granos de trigo (el valor exacto es mayor).

¿Cuántas toneladas pesan todos esos granos de trigo?

Al parecer, 25 granos de trigo pesan aproximadamente 1 gramo. O dicho a la inversa, 1 grano de trigo pesa aproximadamente 0,04 gramos.

Por tanto, los 1,844674407 x 10¹⁹ granos de trigo pesan:

1,844674407 x 10¹⁹ x 0,04 = 7,378697629 x 10¹⁷ gramos

Es decir, 7,378697629 x 10¹¹ toneladas.

Según un informe del Departamento de Agricultura de Estados Unidos, la producción mundial de trigo se estima actualmente en 603 millones de toneladas, es decir, 603 x 10⁶ toneladas, o 6,03 x 10⁸ toneladas.

Con lo cual, 7,378697629 x 10¹¹ / 6,03 x 10⁸ = 1223,664615.

Es decir, ¡la cantidad que Sessa pidió al rey se tardaría en producir más de 1000 años al ritmo actual!