El duendecillo que desaparece

Traigo aquí una divertida paradoja geométrica: "The Vanishing Leprechaun".
Este conocido puzzle fue diseñado por el canadiense Pat Patterson en los años 60 del pasado siglo.
La imagen, en la que se muestran quince duendecillos, está dividida en tres rectángulos.

Pues bien, si intercambiamos los dos rectángulos superiores, ¡uno de los duendes desaparece!


¿Cuál se esfuma? ¿Adónde ha ido? Cuando regresa, ¿de dónde ha venido?

Si te apetece, imprímelo y recórtalo para intentar encontrar una explicación.

Esta paradoja es una de las muchas que se comentan en el estupendo libro "¡Ajá!. Paradojas que hacen pensar", de Martin Gardner, que fue publicado por la editorial Labor en 1982 y ahora puede encontrarse en RBA.

Aún queda esperanza

Por Francisco Molero Garrido. 2º B

Hoy en día es muy común oír el típico comentario de que todo el mundo va a su bola. Incluso el propio Platón advirtió el pasotismo de las personas en una democracia, pero como siempre, la excepción confirma la regla. Yo pensaba igual que muchos de vosotros, hasta que un día escuche una historia.

Esta historia fue contada por medio de una llamada a un programa de radio. La protagonista de la llamada era una chica , que para sorpresa de todos ,tenia dieciséis años .Ella les contó una historia tremenda ,en la cual sus padres la abandonaron por motivos injustificados . Tras irse de  casa, tuvo que dejar sus estudios y empezar a trabajar, ya que no tenía otra familia más que ellos. Estuvo algún tiempo sobreviviendo sola y con algunas dificultades, pero hacia poco la habían echado de su trabajo. En aquel momento, estaba en un aeropuerto, “con una mano delante y otra detrás” pidiendo consejo a los presentadores sobre  que hacer, si irse a otro sitio a buscar trabajo con  cincuenta euros que le quedaban o quedarse e intentar sobrevivir con algún trabajo duro y mal pagado.

Esta llamada conmocionó a los presentadores de este programa y juntos hicieron un llamamiento para que alguien ayudara a esta chica. Éstos quedaron en llamar al final del programa a la chica con alguna solución o a las malas, consejo.

Lo más increíble de todo esto , es que al cuarto de hora llamó un chico desde su coche preguntando  la terminal en que estaba la chica, mientras tanto, en la llamada en espera estaban dos chicas en su piso preparándose para salir a buscar a la otra a la terminal , y así el programa contó hasta cinco llamadas……

Al final del programa, se llamó a la chica y se le comunicó la solución. Ella no creía lo que le decían porque la vida con ella, nunca se había mostrado tan generosa, y agradeció grandiosamente a los presentadores y a la gente por su ayuda.

Cuando fue a colgar pidió la palabra al presentador para decir algo y esto fue lo que dijo:

- Esto va dirigido a todas las chicas y chicos que estén en una situación tan desesperada como la mía, no os rindáis y no tiréis la toalla porque la vida es muy bella y siempre te guiara hacia alguien dispuesto a ayudarte.

Con esta frase esta chica dejó conmocionados  a todos los oyentes, debido a la muestra de su gran madurez y  moral.

Con este ejemplo quiero trasmitir la idea de que nunca hay que rendirse, o tirar la toalla, por creer que no puedes digerir un problema, y que nadie te va a ayudar. Cree siempre que va a haber un montón de personas que lo harán, dependiendo del canon general de la sociedad, y con todo esto, ¡NUNCA PIERDAS LA ILUSIÓN DE VIVIR!

A vueltas con el infinito

Si hay alguna idea en la matemática tan resbaladiza e inaprehensible como en filosofía lo es la de Dios, esa es la de infinito. Del interesante debate que se ha suscitado en este blog acerca de los argumentos para probar la existencia o inexistencia de Dios (debate en el que no me atrevo a entrar) podríamos obtener una conclusión como ésta:

Por más que construyamos sólidos razonamientos en uno u otro sentido, siempre estamos igual de lejos de llegar a una conclusión incontrovertible (¡lo cual no significa que, al hacerlo, no hayamos avanzado en el conocimiento de la cuestión!).

Salvando las distancias, cuando en el ámbito de las matemáticas trabajamos con la idea de infinito, nos encontramos paradojas que recuerdan esa situación. Y se podría pensar que esto ocurre cuando se abordan problemas matemáticos muy profundos o técnicos, pero no es necesariamente así. Con seguridad, todos hemos tenido, de niños, una conversación parecida a ésta:

- ¡Yo tengo cinco!

- ¡Y yo más! ¡Yo tengo seis!

- ¡Y yo tengo catorce!

- ¡Y yo, noventa y nueve!

- ¡Pues yo tengo infinitos!

- ¡Y yo más …!

Ya desde pequeños, la idea de infinito nos resulta a la vez necesaria e inalcanzable.

Escribo todo esto porque en clase nos hemos topado ya varias veces con este asunto. La primera fue al trabajar con probabilidades referidas a variables aleatorias continuas. Veamos un ejemplo:

Supongamos que un amigo nos dice que vendrá a casa entre las 5 y las 7 de la tarde (y nosotros tenemos plena seguridad de que cumplirá su palabra).

¿Cuál es la probabilidad de que venga exactamente a las 6:30?

La respuesta es cero. Eso es lo que nos dice la teoría de la probabilidad.

Pero, si eso es así, la probabilidad de que venga, por ejemplo, a las 6:29 también es cero. Y si la probabilidad de que venga a cualquier hora concreta es cero, entonces ¡es imposible que venga!

Pues no; la conclusión es falsa. Nuestro amigo vendrá, con seguridad, entre las 5 y las 7.

¿Cómo es posible esto? ¡Porque hay infinitas horas entre las 5 y las 7!

Otra manera de acercarse a esta paradoja es visualizarla geométricamente:

Podemos convenir en que un rectángulo está compuesto de infinitos segmentos. El área de cada uno de estos segmentos es cero y, sin embargo, el área del rectángulo no lo es.

Otra situación paradójica nos la hemos encontrado en clase al estudiar la función de densidad de la distribución normal. El recinto comprendido entre la gráfica de esta función y el eje de abscisas no está acotado (las “colas” izquierda y derecha no acaban nunca) y, sin embargo, tiene área finita (vale 1).

Ahora estamos trabajando con los números reales y ya nos han surgido nuevos interrogantes sobre el infinito. Pero éstos los comentaremos otro día. Ese día hablaremos también de esa última afirmación, aparentemente absurda, del niño, cuando dice: “- ¡Y yo más …!”. ¿Más que infinito?

Porque las casualidades no existen...

 Por Rubén Muñoz. 2º B

Está demostrado: no hay cosa que suceda en el mundo que no tenga alguna explicación lógica.

   Esta navidad, debido al tiempo libre, debo reconocer que a lo mejor  me he excedido a la hora de visionar esa caja tonta a la que llamamos “televisión”. Estuve pendiente sobre todo de la huelga de controladores aéreos, pues estaba pendiente de que viniera un familiar  en avión .La huelga ya se veía gestando desde el amago del pasado agosto. Las peores predicciones se cumplieron y al final se ejecutó dicha huelga. Al día siguiente para mi sorpresa, al encender la televisión y esperar ver alguna información sobre el estado de dicha huelga en la pantalla había un titular curioso: Marta Domínguez imputada en el caso Galgo. Me pareció extraño  y un tanto dudoso, pues Marta Domínguez ha participado en numerosos mundiales y olimpiadas y nunca ha dado positivo en el famoso control anti-doping. El caso era que la atleta estaba imputaba junto a otros ilustres del atletismo español por el suministro de sustancias prohibidas para los deportistas.

    Ese mismo día, vi algo que me llamo mucho la atención. Estaba conectado en la red social tuenti cuando recibí un evento. El título de dicho evento era el siguiente: No a la ley Sinde. Pinché sobre dicho evento y e investigué dicha ley. En resumen, dicha propuesta del gobierno pretendía prohibir la descarga de música , películas y visionado de series y largometrajes online. Tras enterarme de que la aprobación esa ley era inminente, se me encendió la bombilla, el caso Galgo era una tapadera. Ese fue el comienzo del despertar de mi curiosidad y me dirigí a internet para informarme de otras posibles tapaderas para enterrar hostilidades hacia el gobierno o simplemente situaciones adversas las  cuales el gobierno no quería que la sociedad diese importancia. Entonces fue cuando me di cuenta de que no solo el caso Galgo había sido una tapadera, sino que había otros casos, como el famoso caso Malaya. Personajes del tipo Isabel Pantoja y Julián Muñoz habían sido imputados en el caso Malaya, era de esperar, eran personajes públicos muy salpicados de siempre por la prensa rosa(de interés popular máximo).

   Todas estas evidencias me llevaron a plantearme muchas cosas en las que antes no había pensado, me llevaron a plantearme preguntas como el porqué de esas tapaderas. La respuesta era evidente, ¿acaso no le interesa al gobierno tapar todas sus deficiencias o errores para mantener a la población dócil y obediente?¿acaso no es más fácil rezagarse bajo un abanico de escándalos públicos para esconder las cuestiones que realmente importan? Todo esto es muy obvio y por lo menos a mí ,un simple estudiante de segundo de bachillerato, me produce escalofríos pensar que todo lo que sabemos es como un cristal opaco, el cual esconde lo que muy pocos saben. Mi consuelo es saber que como yo, mucha gente ha podido ha podido plantearse las mismas preguntas y que desde aquí, tengo la posibilidad de animar a todos aquellos a que se esfuercen por informarse y buscar la verdadera verdad, porque no es inalcanzable, solo un poco complicada de ver debido a la influencia de unos pocos, aquellos que gobiernan este mundo a su libre albedrío y en función de sus únicos intereses: ser más y más poderosos…

Una modificación del argumento gnoseológico

Como hemos visto en clase al exponer la filosofía cartesiana, uno de los argumentos que utiliza Descartes para demostrar la existencia de Dios es el que hemos llamado “gnoseológico”, para diferenciarlo del ontológico de San Anselmo.

El argumento gnoseológico, a grandes rasgos, consiste en afirmar que puesto que en mi mente existen ideas como perfección e infinito, y estas no pueden haberse formado por la experiencia, entonces alguien las tiene que haber puesto ahí, alguien que es infinito y perfecto, claro, y este ser sólo puede ser Dios.

Adaptando el argumento a los tiempos modernos postdarwinianos, y por supuesto sin la intención de demostrar nada (y mucho menos un problema tan difícil como la existencia de Dios), sólo para que veamos algo aparentemente paradójico, podemos reformular el argumento diciendo:

Si la Evolución no tiene finalidad y los seres vivos son producto del mero azar, ¿por qué esa misma ley de la Evolución ha producido un ser para el que es perentorio encontrar un sentido? Y no hablo de sentido en el plano existencial o filósofico, sino meramente desde la salud psicológica: si una persona no encuentra un sentido a su vida, a sus actos y a sus sufrimientos, entonces entra en cierto deterioro psicológico, mayor o menor según los casos. El ser humano siempre sufre porque se sabe mortal, porque anticipa el futuro y porque necesita darle sentido a sus actos. Parece, por tanto, que dentro de nuestro “equipamiento evolutivo” se nos hubiera incluido la búsqueda permanente de sentido, algo que la propia Evolución no tiene y que sin embargo nos ha proporcionado.

Entonces cabe plantearse al menos dos posibilidades (buscad alguna más, si queréis): si Dios existe, él nos habría proporcionado esa “necesidad de sentido” y de algún modo sería como una “huella” del Creador en nosotros, o bien la Naturaleza nos ha conducido a la más cruel broma, al absurdo más grande que podemos concebir: crear desde el más absoluto sinsentido y desde el más puro azar un ser que necesita dotarse de sentido y que sufre enormemente por ello.

Ambas respuestas, desde el punto de vista exclusivamente racional, no dejan de ser inquietantes.

(Por favor, mirad bien si existe defecto en esta argumentación u otras alternativas y ponedlo en los comentarios).

Color en Matruchhaya

Me permito desde aquí recomendar “La noche temática” de La2 de TVE.

Con un formato poco habitual, este programa aborda cada sábado (eso sí, a una hora muy tardía) un asunto a través de varios documentales que nos permiten acercarnos a él desde distintos puntos de vista.

Cada semana tenemos la oportunidad de profundizar en nuestro conocimiento de temas sociales, acontecimientos históricos o personajes relevantes.

Y los documentales son siempre de la mayor calidad e interés. Como el último que visto, ayer mismo: Color en Matruchhaya, en una noche titulada "Infancia sin padres".

(El documental sólo estará disponible on-line 15 días después de su emisión.)

Gapminder

La Fundación Gapminder, creada por Hans Rosling, desarrolló Trendalyzer, un programa para convertir series estadísticas en gráficos interactivos con el objetivo de promover una visión del mundo basada en hechos y datos a través de la comprensión de información estadística pública.

Podéis ver y descargar las animaciones interactivas en la página de la fundación.

El 16 de marzo de 2007, Google adquirió Trendalyzer para avanzar en su desarrollo. Desde entonces, Google ha hecho público su Motion Chart Google Gadget.

Aportación de Descartes a las matemáticas

René Descartes (1596-1650) fue un gran pensador francés. Se le considera como el primer gran filósofo moderno, trabajó en física y biología, y dedicó a las matemáticas parte de su tiempo a lo largo de muchos años.
Intentaremos aquí explicar brevemente en qué consistió su aportación a las matemáticas, que, como veremos, contribuyó a transformar profundamente.

Educado en el prestigioso colegio de jesuitas de La Flèche en Anjou y posteriormente licenciado en Derecho por la Universidad de Poitiers, pronto empezó Descartes a dudar de todo el conocimiento que había adquirido. Esto le llevó a buscar un método con el que poder llegar a verdades incontrovertibles en todos los campos del saber.
Las matemáticas le atraían porque proporcionan un método de llegar a certezas y demostrarlas de forma impecable, método que, pensaba, trascendía su propia materia. De modo que elaboró una serie de principios para asegurar el conocimiento verdadero en cualquier campo, basándose en la forma de trabajar de los matemáticos.

En 1637 publicó su principal obra, Discurso del método para dirigir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias. Este libro, que es todo un clásico en filosofía, contiene tres apéndices, La Dioptrique, Les Météores y La Géométrie, en los que pretende ejemplificar la efectividad de su método.

En el tercero, La Géométrie, expuso sus ideas sobre geometría de coordenadas y álgebra, ideas que tendrían una enorme repercusión en el futuro de las matemáticas.

De forma muy resumida, podemos decir que, junto con Fermat, otro gran matemático coetáneo con el que rivalizó, y con precedentes como el de Vieta, creó una nueva rama de las matemáticas, la geometría de coordenadas, conocida también como geometría analítica, y que consiste en utilizar el álgebra en la geometría.

Introduciendo un sistema de coordenadas, cada punto del plano queda representado por un par de números: sus coordenadas. (Si el punto está en el espacio, sus coordenadas serán tres.)
De este modo se consigue asociar ecuaciones algebraicas a lugares geométricos.
Por ejemplo, fijado un sistema de coordenadas, el par de números (2, -3) identifica un cierto punto en el plano; una ecuación como x + 2y = 5 representa una determinada recta (la recta que forman todos los puntos del plano que cumplen la condición de que su primera coordenada, x, más el doble de su segunda coordenada, y, es igual a 5); otras ecuaciones representan circunferencias, elipses, esferas, etc.

Y esta es la clave de la geometría de coordenadas: que permite usar las ecuaciones algebraicas para representar y estudiar curvas y superficies.

Así, muchos de los problemas geométricos que desde los griegos eran resueltos por procedimientos con frecuencia muy complicados y particulares, y ligados al empleo de figuras, ahora podían ser abordados mediante el empleo de las poderosas y generales herramientas algebraicas.

Estas ideas supusieron un cambio trascendental en las matemáticas hasta el punto de acabar con la supremacía de la geometría a favor del álgebra (aunque paradójicamente la obra en la que se desarrollan se llame “Geometría”).

La Filosofía Medieval explicada a los apáticos

¿Qué es lo que aportará el cristianismo al pensamiento Occidental?

  Sobre todo una idea sobre el hombre y sobre la política. En el primer caso, al considerarse que el hombre está creado a imagen de Dios, se deriva la dignidad de todo ser humano independientemente de su posición social. En la política se introducirá una preocupación especial por incorporar ideas a la organización social que mantengan como objetivo la justicia y, sobre todo a partir del siglo XIII, la idea de libertad.

¿Qué aportarán San Agustín y San Anselmo al pensamiento cartesiano? 

 Además de otras cosas, la relación entre pensamiento y existencia (“si me engaño también existo”) y la idea de que el mal es la ausencia de Ser. En el caso de San Anselmo, el argumento ontológico para demostrar la existencia de Dios. (Ver).

¿Qué nos interesa especialmente de Tomás de Aquino?

En primer lugar, la separación entre el orden de la razón y el orden de la fe: Dios da la fe y también la razón a los hombres, por lo que no puede haber contradicción entre ellas. Esta separación aún no es total (la fe prevalece) pero es clara. En segundo lugar, con su elaboración del concepto de ley natural abrirá la puerta a la creación del Derecho Internacional (por ejemplo a través de Francisco de Vitoria),a la corriente iusnaturalista e incluso al liberalismo clásico de Locke.

¿Qué opina Guillermo de Occam de las relaciones entre fe y razón?

  Da el paso definitivo para la separación entre fe y razón, afirmando que la razón debe ocuparse de sus propios asuntos, que son todos aquellos que tienen que ver con la naturaleza. La razón no tiene que ocuparse del conocimiento de lo divino, porque para eso está la fe. Además, Dios ha decidido lo que es bueno y malo, sin que nosotros podamos utilizar la razón para averiguar sus motivos.

   ¿Qué es y que posiciones se darán en la Edad Media sobre el problema de los Universales? 

Un universal es cualquier cualidad, relación, etc que se puede predicar de un ente individual, es decir, un concepto. El problema se suscita en la existencia o no de ese Universal. El realismo exagerado afirmará que existen independientemente de los objetos y de las mentes (de forma similar a las Ideas platónicas), el realismo moderado que existe en los entes individuales (a la manera de la Forma aristotélica). Finalmente, el nominalismo (la tesis de Occam) dice que los Universales son sólo sonidos, flatus vocis, y en todo caso, un contenido mental. (Por eso, según Umberto Eco, “de la rosa sólo queda el nombre”, lo cual no es poco. Los humanos nos machacamos por un trocito de eternidad a través del nombre, ¿no?)

¿Qué es la navaja de Occam? 

Es la aplicación del principio de que “los entes no deben multiplicarse innecesariamente”. La naturaleza actúa siempre con suma simplicidad. Por eso, ante dos teorías que rivalizan por explicar un fenómeno, debemos elegir aquella que lo explica de la manera más simple, porque seguramente será más verdadera. (Con esa navaja Occam afeita las barbas platónicas, dicen las malas lenguas).

Nature by numbers

Hola:

A propuesta de Isidoro, inicio con esta entrada mi colaboración en ÁPEIRON. Escribiré fundamentalmente sobre matemáticas y educación. Intentaré tratar estos asuntos de forma atractiva y aportar recursos complementarios a los que se usan en el aula.
Espero que, más adelante, participen también algunos de mis alumnos.

Aquí tenéis un excelente corto que describe algunas relaciones entre matemáticas y naturaleza.



No olvidéis tener activos los altavoces: la música de Wim Mertens resulta muy apropiada.

Podéis consultar aquí la teoría en que se basa .