Si hay alguna idea en la matemática tan resbaladiza e inaprehensible como en filosofía lo es la de Dios, esa es la de infinito. Del interesante debate que se ha suscitado en este blog acerca de los argumentos para probar la existencia o inexistencia de Dios (debate en el que no me atrevo a entrar) podríamos obtener una conclusión como ésta:
Por más que construyamos sólidos razonamientos en uno u otro sentido, siempre estamos igual de lejos de llegar a una conclusión incontrovertible (¡lo cual no significa que, al hacerlo, no hayamos avanzado en el conocimiento de la cuestión!).
Salvando las distancias, cuando en el ámbito de las matemáticas trabajamos con la idea de infinito, nos encontramos paradojas que recuerdan esa situación. Y se podría pensar que esto ocurre cuando se abordan problemas matemáticos muy profundos o técnicos, pero no es necesariamente así. Con seguridad, todos hemos tenido, de niños, una conversación parecida a ésta:
- ¡Yo tengo cinco!
- ¡Y yo más! ¡Yo tengo seis!
- ¡Y yo tengo catorce!
- ¡Y yo, noventa y nueve!
- ¡Pues yo tengo infinitos!
- ¡Y yo más …!
Ya desde pequeños, la idea de infinito nos resulta a la vez necesaria e inalcanzable.
Escribo todo esto porque en clase nos hemos topado ya varias veces con este asunto. La primera fue al trabajar con probabilidades referidas a variables aleatorias continuas. Veamos un ejemplo:
Supongamos que un amigo nos dice que vendrá a casa entre las 5 y las 7 de la tarde (y nosotros tenemos plena seguridad de que cumplirá su palabra).
¿Cuál es la probabilidad de que venga exactamente a las 6:30?
La respuesta es cero. Eso es lo que nos dice la teoría de la probabilidad.
Pero, si eso es así, la probabilidad de que venga, por ejemplo, a las 6:29 también es cero. Y si la probabilidad de que venga a cualquier hora concreta es cero, entonces ¡es imposible que venga!
Pues no; la conclusión es falsa. Nuestro amigo vendrá, con seguridad, entre las 5 y las 7.
¿Cómo es posible esto? ¡Porque hay infinitas horas entre las 5 y las 7!
Otra manera de acercarse a esta paradoja es visualizarla geométricamente:
Podemos convenir en que un rectángulo está compuesto de infinitos segmentos. El área de cada uno de estos segmentos es cero y, sin embargo, el área del rectángulo no lo es.
Otra situación paradójica nos la hemos encontrado en clase al estudiar la función de densidad de la distribución normal. El recinto comprendido entre la gráfica de esta función y el eje de abscisas no está acotado (las “colas” izquierda y derecha no acaban nunca) y, sin embargo, tiene área finita (vale 1).
Ahora estamos trabajando con los números reales y ya nos han surgido nuevos interrogantes sobre el infinito. Pero éstos los comentaremos otro día. Ese día hablaremos también de esa última afirmación, aparentemente absurda, del niño, cuando dice: “- ¡Y yo más …!”. ¿Más que infinito?
¡Qué lujo es tenerte como socio del blog! Pero aparte de la coba, y teniendo en cuenta mi escaso talento matemático, la paradoja que planteas sobre el área del rectángulo frente al área de los segmentos me recuerda la paradoja de Zenón, aquella de la tortuga que es perseguida por un Aquiles de pies ligeros, pero que nunca llega a alcanzarla debido a que, según Zenón, cada segmento que la tortuga recorre es divisible "ad infinitum".
ResponderEliminarEl argumento es tramposo y sólo sirve como ejemplo de la tozudez de la escuela de Elea para negar que exista cambio alguno (es sólo apariencia), sino que sólo existe el Ser.
En fin, lo que quiero pregntarte es, ¿tiene relación con lo que planteas?
A lo largo de la historia, la idea de infinito ha provocado multidud de problemas y paradojas a los matemáticos. La que he expuesto sobre al área de un recinto acotado (por ejemplo, un rectángulo) y la de Zenón son muy parecidas. Ambas tratan sobre la relación entre lo discreto y lo continuo.
ResponderEliminarAsí da gusto calcular límites, creo que los alumnos necesitamos más situaciones interesantes y motivaciones así con las matemáticas, así que las colaboraciones del blog vienen muy bien.
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