Más sobre el infinito: Los Aleph de Cantor

Hace unos días tratábamos del infinito y las paradojas que provoca.

Decíamos que un rectángulo puede “verse” como un conjunto infinito de segmentos, el área de cada uno de los cuales es cero. Pero, claro, el área del rectángulo no es cero.

Y decíamos que esto es posible por la infinitud del número de segmentos.

Sin embargo, también son infinitos los segmentos levantados sobre las abscisas correspondientes a números enteros (ver figura) y el conjunto formado por todos ellos tiene área cero.

¿Y entonces?

La explicación es que ¡hay distintos infinitos!

Veamos esto con algo más de detalle:

Dos conjuntos decimos que tienen el mismo cardinal (es decir, el mismo número de elementos) si se puede establecer entre ellos una aplicación biyectiva (cada oveja con su pareja).

Es claro que el conjunto ℕ de los números naturales (1, 2, 3, …) tiene infinitos elementos. Pero es que tiene el mismo cardinal que ℤ, el conjunto de los números enteros (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …), ya que se puede establecer una aplicación biyectiva entre ambos. Por ejemplo ésta:

¡Y esta es otra paradoja: estamos diciendo que un conjunto, ℤ, tiene el mismo número de elementos que una parte suya, ℕ!

Más aún. Como probó el matemático Georg Cantor a finales del siglo XIX, también ℚ, conjunto de los números racionales, tiene el mismo cardinal infinito que sus subconjuntos ℤ y ℕ.

Georg Cantor

También probó que ℝ, el conjunto de los números reales, no puede hacerse corresponder mediante una aplicación biyectiva con ℕ, es decir, que ℝ tiene un cardinal infinito mayor que ℕ, ℤ o ℚ.

Cantor llamó numerables a los conjuntos que tienen el mismo cardinal que ℕ y a este cardinal lo llamó aleph sub-cero. Y demostró que existe toda una “escalera” de cardinales infinitos distintos (los llamados números transfinitos): aleph sub-cero, aleph sub-uno, aleph sub-dos, …

Por otro lado, también probó que el cardinal de los números reales, denotado c, es mayor o igual que aleph sub-uno.

Quedaba la cuestión de si c es igual a aleph sub-uno o es mayor. Cantor creía que se cumple la igualdad, o dicho con otras palabras, que no existe ningún conjunto con un cardinal mayor que ℕ y menor que ℝ. Es la llamada hipótesis del continuo. Durante años intentó demostrarlo, pero no pudo.

Kurt Gödel en 1940 y Paul Cohen en 1963, obtuvieron resultados que, considerados conjuntamente, implican que tal hipótesis es indecidible a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, es decir, que ni se puede probar la hipótesis del continuo ni su contraria.